El binomio de Newton es una fórmula que nos permite encontrar el desarrollo de un binomio que se encuentra elevado a la “enésima” potencia. De acuerdo con el teorema tenemos que:

\left(a\pm b\right)^n=\binom{n}{0}a^n\pm\binom{n}{1}a^{n-1}b\pm\binom{n}{2}a^{n-2}b^2\pm\ldots\binom{n}{n}b^n

Para calcular el valor de los coeficientes \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2} … \binom{n}{n} los cuales vamos a generalizar de la forma \binom{n}{m} utilizaremos la siguiente ecuación:

\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!\left(n-m\right)!}

Al desarrollar cualquier binomio a la enésima potencia se obtienen n+1 términos, si desarrollamos un binomio cuadrado, por ejemplo \left(x+2\right)^2 obtendremos 3 términos (x^2+4x+4). Si desarrollamos un binomio al cubo, por ejemplo \left(x-1\right)^3 obtendremos 4 términos (x^3-3x^2+3x-1).

Cuando expandimos un binomio, comenzamos escribiendo el primer término del binomio con potencia n, se sigue colocando y disminuyendo en uno su exponente hasta llegar a 0. El segundo término comienza con exponente 0 y va aumentando en uno hasta llegar a n. Los signos serán todos positivos si en el binomio los dos son positivos y si el signo del segundo es negativo, serán intercalados, comenzando con signo positivo.

Ejemplo 1.- Desarrolla {\left(x+4\right)}^3

Aplicamos la fórmula (1) y sustituimos los datos, donde a=x, b=4 y n=3, por lo que:

\left(x+4\right)^3=\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2\cdot\left(4\right)+\binom{3}{2}x\cdot\left(4\right)^2+\binom{3}{3}\left(4\right)^3

Los coeficientes encerrados entre paréntesis se desarrollan con la fórmula (2):

\binom{3}{0}=\frac{3!}{0!\left(3-0\right)!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{1\cdot(3\cdot2\cdot1)}=\frac{6}{6}=1

\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!\left(3-1\right)!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{1\cdot(2\cdot1)}=\frac{6}{2}=3

\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!\left(3-2\right)!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot\left(1\right)}=\frac{6}{2}=3

\binom{3}{3}=\frac{3!}{3!\left(3-3\right)!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot(1)}=\frac{6}{6}=1

Sustituimos los valores:

\left(x+4\right)^3=(1)x^3+(3) x^2\left(4\right)+(3) x\left(4\right)^2+(1)\left(4\right)^3

\left(x+4\right)^3=x^3+12x^2+48x+64

Ejemplo 2.- Desarrolla \left(2z-1\right)^6

Aplicamos la fórmula (1) y sustituimos los datos, donde a=2z, b=-1 y n=6, por lo que:

\left(2z-1\right)^6=\binom{6}{0}\left(2z\right)^6+\binom{6}{1}\left(2z\right)^5\left(-1\right)+\binom{6}{2}\left(2z\right)^4\left(-1\right)^2+\binom{6}{3}\left(2z\right)^3\left(-1\right)^3+\binom{6}{4}\left(2z\right)^2\left(-1\right)^4+\binom{6}{5}(2z)\left(-1\right)^5+\binom{6}{6}\left(-1\right)^6

Resolvemos los coeficientes con la ecuación (2) y reducimos:

\left(2z-1\right)^6=64z^6-192z^5+240z^4-160z^3+60z^2-12z+1

Observa como el término 2z comienza como potencia n=6 y disminuye en 1 hasta llegar a la potencia n=0, de forma contraria el término b=-1 comienza con potencia n=0 y aumenta en 1 hasta llegar a la potencia n=6.

Si en tu examen de admisión a la universidad viene el desarrollo de un binomio con potencia mayor a 3, será mejor que apliques el binomio de Newton para poder ahorrar tiempo.

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