Desde cursos básicos de Matemáticas aprendimos las leyes de los signos. Una de ellas dice que el producto de dos signos negativos es positivo, pero, ¿por qué es así?

Las propiedades de los números reales también son conocidas como axiomas, pues son postulados que no necesitan demostración y se asumen como verdaderos, además de servir para deducir todas las reglas, operaciones y teoremas más importantes de la aritmética y del álgebra. 

Además, el uso de símbolos permite escribir de forma matemática los enunciados y formalizar los axiomas. Algunos de los símbolos más usados en este contexto son

Pertenece: \in

Para todo: \forall

Tal que: |

Existe: \exists

Conjunto de los números reales: \mathbb{R}

Para entender el porqué de esta regla de los signos vamos a utilizar los siguientes axiomas:

Propiedad distributiva: El producto de un número real a por la suma de otros dos números b+c es igual a la suma de los productos del primero por los otros dos: ab+ac . Esto es equivalente a escribir

a\left(b+c\right)=ab+ac

Neutro aditivo: Existe un número real denotado por 0 tal que al sumarlo a cualquier número real n el resultado es el mismo número: 0 + n = n . Formalmente esto lo escribimos como

\forall\ n\in\mathbb{R,\ }\exists\ 0\in\mathbb{R}\ |\ 0 + n = n

Neutro multiplicativo: Existe un número real denotado por 1 tal que al multiplicarlo por cualquier número real n el resultado es el mismo número: 1 \cdot n = n . En notación matemática esto es

 \forall\ n\in\mathbb{R,\ }\exists\ 1\in\mathbb{R}\ |\ 1 \cdot n = n

Inverso aditivo: Para todo número real ( \forall\ n\in\mathbb{R} ) existe un inverso aditivo ( \exists -n\in\mathbb{R} ) tal que la suma de ambos es igual a cero ( n+(-n)=0 ). El enunciado completo es

\forall\ n\in\mathbb{R,\ } \exists -n\in\mathbb{R}\ |\ n+(-n)=0

Ahora vamos a probar que al multiplicar cualquier número real por cero, el resultado es cero

Sumar un cero no altera ningún número

a \cdot 0 = a \cdot (0+0)

Aplicando la propiedad distributiva

a \cdot 0 = a\cdot 0 + a\cdot 0

Sumamos el inverso aditivo de a \cdot 0 en ambos lados 

a \cdot 0+(-a \cdot 0) = a\cdot 0 + a\cdot 0+(-a \cdot 0)

Y como a \cdot 0+(-a \cdot 0) = 0

0=a \cdot 0

Finalmente, demostraremos que menos uno por menos uno es igual a uno positivo.  Llamemos x=(-1)(-1) y sumemos (1)(-1) en ambos lados

x+(1)(-1)=(-1)(-1)+(1)(-1)

En el miembro izquierdo usamos el axioma del neutro multiplicativo y en el derecho la propiedad distributiva para encontrar un cero

x+(-1) = (-1)(-1+1)=(-1)(0)=0

Hemos encontrado que la suma de x con -1 es igual a cero, entonces x debe ser el inverso aditivo de -1 , es decir 1 . Y por la definición de x

(-1)(-1)=1

¿Tienes alguna duda? Déjala en los comentarios.